三角形的五心的定义及例题解析

展全思梦 2025-11-05 21:03:25

以下是关于三角形的五心的定义及例题解析的介绍

一、三角形的五心的定义

1、三角形的内心

（1）定义：三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心（内切圆圆心）。

（2）三角形的内心到三边的距离相等，都等于三角形内切圆半径。

（3）内切圆半径$r$的计算：设三角形面积为$S$，并记$P=$$frac{1}{2}(a+b+c)$，则$r=frac{S}{P}$。

（4）特别的，在直角三角形中，有$r=$$frac{1}{2}(a+b-c)$（$r$为三角形内切圆半径）。

2、三角形的外心

（1）定义：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点称为三角形的外心（外接圆圆心）。

（2）三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，都等于三角形的外接圆半径。

（3）①锐角三角形的外心在三角形内。

②直角三角形的外心在斜边中点。

③钝角三角形的外心在三角形外。

④等边三角形外心与内心为同一点。

3、三角形的重心

（1）定义：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。

（2）三角形的重心到边的中心与到相应顶点的距离之比为$1∶2$。

（3）重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。

（4）重心到三角形三个顶点距离的平方和最小（等边三角形）。

（5）三角形重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4、三角形的垂心

（1）定义：三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心。

（2）斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点，所以把这样的四个点称为一个“垂心组”。

5、三角形的旁心

（1）定义：三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点称为三角形的旁心。

（2）三角形的旁心是三角形旁切圆的圆心。

二、三角形的五心的相关例题

三角形的五心在平面几何中占有非常重要的地位，这五心分别是：重心、外心、内心、垂心、旁心，其中三角形的重心是三角形的___

A．三条角平分线的交点

B．三条中线的交点

C．三条高所在直线的交点

D．三边垂直平分线的交点

答案：B

解析：三角形的重心为三角形三条中线的交点，故选B。

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