三角函数辅助角公式,推导过程是什么

展全思梦 2025-11-06 22:03:46

以下是关于三角函数辅助角公式,推导过程是什么的介绍

辅助角公式是一种高等三角函数公式，下面是由高考必中网小编整理了三角函数辅助角公式公式及推导过程，供大家参考！

三角函数辅助角公式是什么

辅助角公式是一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+\arctan(b/a)]

（a>0）。虽然该公式已经被写入中学课本，但其几何意义却鲜为人知。

设要证明的公式为asinA+bcosA=√(a^2+b^2)sin(A+M) (tanM=b/a)

以下是证明过程：

设asinA+bcosA=xsin(A+M)

∴asinA+bcosA=x((a/x)sinA+(b/x)cosA)

由题,（a/x)^2+(b/x)^2=1,sinM=a/x,cosM=b/x

∴x=√(a^2+b^2)

∴asinA+bcosA=√(a^2+b^2)sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=b/a

三角函数辅助角公式推导过程

三角函数辅助角公式推导：

asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]

令a/√(a²+b²)=cosφ，b/√(a²+b²)=sinφ

asinx+bcosx=√(a²+b²)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a²+b²)sin(x+φ)

其中，tanφ=sinφ/cosφ=b/a，φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同.

简单例题：

（1）化简5sina-12cosa

5sina-12cosa

=13(5/13sina-12/13cosa)

=13(cosbsina-sinbcosa)

=13sin(a-b)

其中，cosb=5/13,sinb=12/13

（2）π/6<=a<=π/4 ,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值

令f(a)

=sin²a+2sinacosa+3cos²a

=1+sin2a+2cos²a

1+sin2a+(1+cos2a)(降次公式)

=2+(sin2a+cos2a)

=2+根号2sin(2a+π/4)(辅助角公式)

因为7π/12<=2a+π/4<=3π/4

所以f(a)min=f(3π/4)=2+(根号2)sin(3π/4)=3

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文章标题：三角函数辅助角公式,推导过程是什么
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